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重视教学过程中的反思环节

日期：12-27| 味学网| http://www.weixiu6.com |中学教学计划总结 |人气:754次

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源、N，设∠F2F1M= ，（0 ≤ < ），当取何值，|MN|等于椭圆短轴长。（1983高考理科试题） 解法1：建立以为X轴，原点为中心直角坐标系，得椭圆方程为=1，设MN所在直线方程为y=k(x+2 ),利用弦长公式|MN|= |x1-x2|= ,得k2= ,从而得 = 或 = 解法2：（略解）以左焦点F1为极点，长轴所在直线为极轴，建立极坐标方程 = ，|F1M|= 1= , |F2M|= 2= 得到|MN|= 1+ 2= =2得， = 或 = 解法3（略解）设MN所在直线参数方程为 （t为参数）代入椭圆方程|MN|=|t.1-t2|= = =2得， = 或 = . 解法4：由椭圆定义，设|F1N|= d1 ，|F1M|= d2 ，连结NF2，NF1，得|NF2|=6-d1 ,|NF2|=6- d2 ,由余弦定理(6-d1) 2= d12+32+8 d1cos ， (6-d1) 2= d22+32+8 d2cos , 解得d1= , d2= ,(以下略) . 反思本题各种解法，本题关键是表达出|MN|。利用不同知识点的交汇，产生不同解题思路。 解法1在直接利用两点之间距离公式求解，过程繁琐，想到可用韦达定理可简化。 解法2、解法3想到表达距离也可用参数方程或极坐标方程。解法4求出|F1N| F1M|利用方程思想方法，直接求烦，考虑到直线过焦点，利用椭圆定义和余弦定理。通过反思不同知识交汇点，沟通了各方面知识，培养联系、转化辩证思维。使思维趋向多元化，伸向不同方向层次，提高了学生解决问题能力和思维广阔性。 2．2．2反思不同层次数学思想 K．邓克尔把解题思维过程分成三个层次：一般性解决、功能性解决、特殊性解决。这三个层次的实施都少不了数学思想的指导。反思不同层次的数学思想，可以使经验升华产生认识上的飞跃，促成了不同的解题思维。 例5．若方程 =x+b无解，求实数b的取值范围。 解法1（数形结合思想）把方程转化为两函数图象位置关系。设y= ,y=x+b,要使方程无解，只须直线与双曲线（上半部分）无交点即可，由图显见b的取值范围（-∞，-1）∪[0，1) 解法2（分类讨论思想）分类讨论根据题目要求确定适当分类标准，然后对划分后的每一类别求解，如有必要，再加以分类，最后进行综合得出结果。要求分类时，做到不重复不遗漏（解略） 例6已知f(x-3)=x2+2x+3, 求f(x)。 解法1：利用变量代换法 x=x+3-3 用x+3代x 解法2：利用代定系数法 设f(x)=ax2+bx+c 求得f(x-3) ，比较同类项系数。 解法3：配方法，f(x-3)=x2+2x+3=(x-3) 2+8(x-3)+18 在教学中诱导学生解题后善于从不同层次对数学思想进行提炼、反思，对强化数学思想，提高解决问题能力十分有益。 3． 3反思解题表述过程 解题表述是计划的落实。反思解题表述主要反思运算是否正确，推理是否严密。反思多走了哪些思维回路，是否可通过删除合并来体现简洁美，同时也培养了学生思维的严谨性、批判性。 例7若(

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源 z-x) 2-4(x-y)(y-z)=0,求证x、y、z成等差数列。 观察等式发现类似一元二次方程式判别式 ＝b2-4ac=0，所以构造方程(x-y)t2+(z-x)t+(y-z)=0 且此方程有等根。 由各项系数这和为0，得有两等根为1，由韦达定理t1t2= =1 即2y=x+z ∴ x、y、z成等差数列。 反思上述解法，推理存在不够严密之处。1、b2-4ac=0 (*) 与方程ax2+bx+c=0不是一一对应，如x2+bx+ac=0, 2ax2+bx+ =0 它们的判别式都是（*）， 2、所构造方程是否为二次方程，需讨论x≠y. 3、方程有什么样的等根不易发现。综合上述分析，排除各种不足，作这样思考:要证x、y、z成等差数列就是要证x-y=y-z，可视方程两等根为x-y、y-z。于是有了以下证法。 构造方程[t-(x-y)][t-(y-z)]=0 t2+(z-x)t+(x-y)(y-z)=0 ∵ (z-x) 2-4(x-y)(y-z)=0(已知)， ∴两根x-y=y-z ∴ x、y、z成等差数列 其实上面在两个证明过程反映了对题目的理解上，而第一种理解更接近题目本质。 事实上：由a,b是方程x2-(a+b)x+ab=0两根 （a+b）2-4ab=0(判别式 =0) a=b(两根相等) 这只不过是现成定理（a+b） 2-4ab=（a-b）2 的变形。因此本题可直接利用配方法求证。 证：(z-x) 2-4(x-y)(y-z)={- [(x-y)+(y-z)]}2- 4(x-y)(y-z)= (x-y) 2+2(x-y)(y-z)+ (y-z) 2- 4(x-y)(y-z) = (x-y) 2-2(x-y)(y-z)+ (y-z) 2= [(x-y)+(y-z)] 2 =0 ∴ x-y=y-z ∴ x、y、z成等差数列 2.4反思解题结果 反思解题结果除了验证最后结果正确与否，还要对结果进行总结性反思和提高性反思。看能否把问题一般化、抽象化，最终达到纠正一例，预防一片，讲评一法，会解一类目的。 例8 已知椭圆 + =1上一点P与两焦点F1、F2连线垂直，求△PF1F2面积。 解法1。由p与两焦点F1F2连线垂直，得两连线斜率乘积为-1。设p(x,y). 则 =-1 ∴x2+y2=c2 同椭圆方程联立，求得从而得S△= 解法2。由p与两焦点F1F2连线垂直，由平面几何知识，P在F1F2为直径圆上，即P满足x2+y2=c2 以下同解法1。 解法3。由直角三角形S△= |PF1||PF2|，当然我们仍然可采用上面方法，求得P，从而求得|PF1|、|PF2| 但是，考虑到P是椭圆上到两焦点连线，因此，考虑是否利用椭圆定义可以简化。|PF1|+|PF2|=2a (1) 要出现乘积，把(1)式两边平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4a2 (2) 而| |PF1|2+|PF2|2=| F1F2|2=4c2 （3）从而得S△= |PF1||PF2|=b2 这里从整体考虑乘积，避免了复杂的交点计算。 至此我们是否满足于上述结果,看能否把该结论作下推广，此时上面方法又该如何改进。 推广1：已知椭圆 + =1上一点P与两焦点F1、F2连线夹角为 ，求△PF1F2面积 由特殊角推广到任意角 ，此时面积公式推广为S△= |PF1||PF2|sin 受解法3启发，利用椭圆定义，把（1）式两边平方。勾股定理不再适用怎么办？我们知道余弦定理是勾股定理推广。因此把（3）式改为|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos =| F1F2|2=4c2 （3’），（2）-（3’）马上可得|PF1|·|PF2|= ，从而求得S△= |PF1||PF2|sin =b2tan .。 推广2：把椭圆改为双曲线呢？ 双曲线 - =1上一点P到两焦点F1、F2连线夹角为 ，求△PF1F2面积。 分析得上述方法仍然适用。此时（1）式变为|PF1|-|PF2|=±2a (1’) , （2）式改为|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4a2 (2’), (3’)-(2’) 得|PF1|·|PF2|= 从而求得S= |PF1||PF2|sin =b2cot . 通过一个特殊问题反思，并作进一步推广到一个更一般情形，揭示了解题规律，丰富了学生解题经验，使他们会解一道题到会解一类题。提高了学生解题能力。 3反思中需要解决的几个问题 1要给学生留下反思的时间和空间。教师的引导、点评只能方法化而不能方向化，对学生解答，无论对错，应从思维方法上进行挖掘，不要在解题方向或方法上给予指明，以免学生思维定向化，不利于学生自由研究、创新。 2给学生提供多种反思形式，如设问、布设陷阱，让学生纠错、小组讨论等。 从以上对反思这一过程必要性的讨论和它在解题过程中，对锻炼思维、提高学生解题能力、培养学生思维品质中的作用中我们认识到，教学中应重视引导学生反思这一环节。 参考文献： [1] 涂荣豹 试论反思性数学学习·数学教育学报 2000.4 [2] 王为峰 在解题过程中培养学生思维自我监控能力·中学教研 20xx.10 [3] 陈仁胜 运用解题反思优化数学思维能力·数学通报 20xx.9 [4] 罗增儒 解题分析───分析解题过程四个方面中·学数学教学参考 1998.6 [5] 罗增儒 解题分析───解题顺序与解题长度中·学数学教学参考 20xx.8 作者简介：陈庆山，男，（1973----），浙江省宁波市人，在鄞州区古林职业中学任教，数学教学组长，中学一级教师。联系地址：鄞州区古林职业中学，邮政编码：315177。 Email: chenqs108.sina.com

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